Geometrie van de actieve achtervering.

Het bewijs uit dit artikeltje dateert uit 2003. De tijd dat de dieren nog spraken, en je zeeziek werd op ligfietsen met achtervering.

Achtervering op een rechtopfiets is eigenlijk een onoplosbare paradox. De vertikale krachten van het pedaleren en van een hobbelig wegdek zitten elkaar lelijk in de weg. Er zijn tientallen ontwerpen gemaakt, niks werkt, tenzij met nauwelijks aanvaardbare aandrijvingsverliezen. Het tegenovergestelde wordt hevig geadverteerd, en zonder een goede kennis van fysica en meetkunde begint men het op de duur te geloven. Wat ik nog enigszins kan geloven zijn de 'geprogrammeerde' veerelementen, waar een (hydraulisch) klepje er voor zorgt dat de vering enkel werkt bij hevige schokken. Goed genoeg om het grote publiek een nieuwe fiets aan te smeren, maar wetenschappelijk gezien een flauwe oplossing.

Ligfietsen hebben het belangrijke voordeel dat de trapbeweging horizontaal is en bovendien een actie is op de zetel, ipv. tegen de zwaartekracht in. Trappen en schokken werken dus volgens twee verschillende assen (resp. X en Z) waardoor de krachten kunnen uitgesplitst worden. Toch heeft de trapbeweging nog een invloed op de achtervering via de trekkende ketting. Het is gemakkelijk voor te stellen dat een flinke trap de scharnierende achtervork omhoog of omlaag zou kunnen trekken, hetgeen zijn invloed zal hebben op het in- of uitveren. Dit fenomeen wordt 'pogo' genoemd en is ongewenst, niet alleen voor het komfort, maar vooral vanwege het verlies aan vermogen dat er mee gepaard gaat.

We willen het liefst dat de vering enkel interageert met het wegdek. Hoe kunnen we nu de geometrie van de fiets zo bepalen dat de trapbeweging geen invloed heeft op de achtervering? Dit is een puur geometrisch probleem. De onbekende is de afstand die het scharnierpunt van de vering boven de ketting ligt. Verklaring: tijdens de krachtslag van het trappen (ongeveer de bovenste 60° van de omwenteling van de trappers) ontstaat een versnelling. Als gevolg van het moment dat zo ontstaat (= draaibeweging rond het zwaartepunt) zal het achterste deel van de fiets naar beneden gaan. Iedereen heeft dit fenomeen al wel eens opgemerkt bij een optrekkende auto. Dit inveren is de ene manier waarop het trappen een invloed krijgt op de vering.

Aan de andere kant doet het trappen ook uitveren. Indien de ketting namelijk onder het scharnierpunt van de achtervork loopt, zal de trapbeweging via de ketting zodanig kracht uitoefenen op de achterbrug dat deze uitveert. De zaak is nu de waarden te bepalen die deze twee krachten in evenwicht brengen.

We kunnen de optimale geometrie bepalen met de volgende formule:

Afstand kettinglijn tot scharnierpunt = ^{Hoogte Zwaartepunt * Radius Achtertandwiel * Afstand scharnierpunt vering tot achterwiel}

Radius achterwiel * Afstand scharnierpunt tot voorwiel

Het mooie is dat dit een puur meetkundige formule is, onafhankelijk van de kracht die we op de pedalen zetten! Hoe komen we hiertoe?

Keuze van de parameters:

We beginnen met enkele vereenvoudigingen - waarover later meer. We gaan er, ten eerste, van uit dat de achtervork ongeveer horizontaal is, en, ten tweede, dat het geleidewieltje van de trekkende ketting ergens rond het scharnierpunt zit, hetgeen in de praktijk bij ligfietsen meestal het geval is. Een zeer schuine achtervork zou er immers onder de fiets willen van door gaan, wat de zaak zou compliceren. Ten derde gaan we er nu even van uit dat er maar één tandwieltje achteraan bestaat: een zelfverkozen versnellingsverhouding G (gear)

De voornaamste waarden, waar we mee aan het rekenen gaan, zijn:

Dk = de geometrische waarde die we zoeken als ontwerper, nl. de afstand (Distance) van de kettinglijn tot het scharnierpunt van de vering.
Hz = de hoogte van het zwaartepunt van rijder en fiets tesamen. Bij benadering is dit ongeveer de hoogte van de navel van de rijder.
Rt = Radius achtertandwieltje: Hoe groter hoe meer pogo
Rw = Diameter wiel: hoe kleiner hoe meer pogo
Dr = Afstand scharnierpunt vering tot contactpunt achterwiel (hoe langer de achtervork hoe groter Dk)
Df = Afstand scharnierpunt vering tot contactpunt voorwiel (hoe korter de fiets hoe meer pogo)
Fw = De kracht die op het wiel komt. Deze parameter wordt wegvereenvoudigd in de uiteindelijke formule:

Afleiding van de formule:

De hierboven beschreven rotatie die ontstaat door de acceleratie is een Moment Ma = Hz.Fw, oftewel gelijk aan de hoogte v/h zwaartepunt maal krachtvector op het wiel. Dit is het moment dat ingrijpt op het scharnierpunt van de achtervering.

Het andere moment dat ontstaat op het scharnierpunt door het naar onder trekken van de achtervork door de ketting is Mk = Fk.Dk oftewel gelijk aan de krachtvector van de kettinglijn maal de afstand van de ketting tot het scharnierpunt. Bij een gelijke acceleratie zal de kracht op de ketting verschillen naar gelang het kransje - je kunt inderdaad maar optimaliseren voor één versnellingsverhouding G = (Fk/Fw), maar laten we nu aannemen dat het hevigste optrekken gebeurt in de lage versnellingen dus we optimaliseren rond pakweg de tweede versnelling.

Bekijken we beide momenten ter hoogte van het scharnierpunt. Df is de (stel horizontale) afstand van het scharnierpunt tot het contactpunt van het voorwiel, Dr tot het achterwiel. De neerwaartse kracht op het scharnierpunt van het versnellingsmoment Fd = Ma/Df, de opwaartse kracht van de trekkende ketting Fu =Mk/Dr. Om het scharnierpunt op zijn plaats te houden moet Fu = Fd, dus

Ma/Df = Mk/Dr.

Hierin substitueren we Ma = Hz.Fw en Mk = Fk.Dk:

(Hz.Fw).Dr=(Fk.Dk).Df ofte Dk = Fw/Fk * Dr/Df * Hz

Welnu, in de achteras is het moment 'kracht ketting * radius tandwiel' gelijk aan het moment van de kracht op het contactpunt van het wiel maal de radius van het wiel Fw*Rwiel:

Fk*Rt = Fw * Rw oftewel Fk/Fw = Rw/Rt. Dit substitueren we in onze formule:

Dk = Hz * Rt/Rw * Dr/Df

Q.E.D. Of in woorden:

Afstand kettinglijn tot scharnierpunt = ^{Hoogte Zwaartepunt * Radius Achtertandwiel * Afstand scharnierpunt vering tot achterwiel}

Radius achterwiel * Afstand scharnierpunt tot voorwiel

De praktijk.

In de formule zijn we uitgegaan van een statische Rt, de radius van het achtertandwiel. In de praktijk werken de meeste fietsen met een cassette zodat de radius van de tandwielen varieert - er treedt dus altijd wel suspension loss op behalve in één versnelling. Praktisch gezien zou ik aan het rekenen gaan met het tweede grootste kransje. Ook het zwaartepunt varieert met een andere rijder of bagage. De constructie van de ligfiets dringt soms een bepaalde positie op voor het geleidewieltje.

In de praktijk moet het berekende optimum als een maximale waarde gezien worden. Door deze te benaderen krijgt men al een excellente veergeometrie. Perfect kan het echter noot zijn - een actieve vering kost altijd een klein beetje energie.

NB:

In 2006 klom ook Dhr. Gert Van de Kraats in de pen, met een andere, ongetwijfeld diepzinnige benadering.